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椭圆历史与现代教材对比研究

 论文栏目:社会历史论文     更新时间:2020/3/25 11:26:15   

一、问题提出

1.研究背景我们在高中所学到的椭圆相关知识,主要有以下部分组成:人教版的教材中,关于椭圆部分仅仅画出了平面坐标系,并在坐标系中以原点为中心画出了椭圆,然后直接给出了椭圆定义,椭圆定义如下:在平面直角坐标系中,有一动点P,该动点到关于y轴对称的定点F1,F2的长度之和恒等于一个大于F1F2的常数,该动点的轨迹所形成的几何图形叫做椭圆.其中e为椭圆的焦距和长轴之比,称为椭圆的离心率,可以刻画椭圆的扁平程度.人教版教材仅阐述了上述知识点,对于椭圆的具体历史知识和一些概念的解释并不完整.由于许多高中教师对数学史知识的存储匮乏,导致在圆锥曲线这个知识点上教学水平参差不齐.许多数学教师授课仅仅只是简单讲述,并未给出任何解释.要改变这种现状,在教学过程中就要融入数学史.2.研究内容及目的本文的研究内容是探究历史上的数学家对椭圆的探究过程和方法,并对这些研究方法进行整合,将这些研究方法中较有价值地融入到课堂教学中去.在学习椭圆知识的过程中,通过对椭圆历史的研究和讨论,提高学生对椭圆学习的兴趣.

二、椭圆的历史研究方法

1.椭圆的历史探究古人对圆锥曲线的研究,可以追溯到两千多年前,古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线,使人类的数学文明取得了突破性的进展.椭圆首先由梅内赫默斯(前375-前325)发现并开始研究,他是系统研究圆锥曲线的第一人,他从希波克拉解决倍立方问题中受到启发,他取三种圆锥(直角、锐角和钝角的圆锥),用垂直于锥面某一母线的平面去截每种锥面,分别得到了抛物线、椭圆和双曲线的一支.他最早建立了圆锥图1曲线的概念.欧几里得写了有关椭圆的著作,并被阿波罗尼奥斯所命名.古希腊数学家阿波罗尼奥斯是椭圆的发现者之一,他采用了切割锐角圆锥的方法发现了椭圆这个几何图形,用垂直于锥轴的平面去截圆锥,把平面倾斜到一定角度,但是平面不与圆锥底面的圆相交成一条直线时,与圆锥相交所成的曲线为椭圆.(需要进一步添加和修改)自此,椭圆这个几何图形就此诞生.(图1是阿波罗尼奥斯发现椭圆的过程)在阿波罗尼奥斯发现椭圆之后的18个世纪中,古人对椭圆的探究一直没取得任何新进展;在公元4世纪,古希腊的数学家帕浦斯通过研究提出了椭圆的焦点和准线的概念,推动了人类对椭圆领域的认知.公元1602年,开普勒在继承了哥白尼的日心说的基础上曾大胆地提出:“我相信火星的轨道是椭圆形的.”后来他通过对火星绕着太阳的运动轨迹进行观察和探究,证实了自己的说法,并有了新的发现:太阳就在轨迹椭圆的焦点上,引进了“焦点”这一名词.他提出了开普勒三大定律,其中一个定律就是行星的运动轨迹是椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上.2.古人对椭圆方程的研究椭圆的标准方程式为x2a2椭圆的标准方程并不是自然形成的,而是经过历代数学家反复推导而得出的.17世纪,法国数学家拉伊尔在《圆锥曲线新论》(1679)中摒弃了椭圆的原始定义,经过推导和探究得出了椭圆的轨迹定义,即平面内到两个定点F1,F2的和等于常数(大于F1F2)的动点的轨迹叫做椭圆.在18世纪初,法国数学家洛必达在他的《圆锥曲线分析》中沿用了拉伊尔的轨迹定义,推导出了椭圆的方程.他对椭圆方程的推导过程如下:

三、椭圆的现代教材研究方法

1.现代教学对椭圆的发现随着我们对坐标的研究和深入,我们可以采用数形结合的方法通过给定一定条件求出动点的轨迹方程得到椭圆,而且也可以通过一些动手操作的实验发现椭圆,下面笔者举一下现代教学发现椭圆的实例.图3折纸实验法在课堂上,让学生准备好纸和笔,在一张纸上画出圆O.在圆O中任取一点F,将圆折叠并让圆周与F相交,并将与F重合的点设为N,将N与圆心O相连接,得到线段ON,线段ON与折痕的交点为M,如图3所示,将该实验反复进行多次,并多次记录动点M的位置,然后用笔画出一条曲线连接这些动点,发现这条曲线是椭圆.该方法和古代研究方法对比,阿波罗尼奥斯的切割圆锥方法看似更容易发现圆锥,实际上考虑的因素有很多,比如切割面的倾斜角度,切割的圆锥的两母线的夹角,圆锥的底面大小和形状,以及采用什么样的工具作为圆锥,什么样的工具进行切割等.而现代研究方法虽然明确了采用的工具,但是学生掌握这样的方法需要一定的智力水平,对学生的抽象思维和转化能力要求颇高.学生会质疑这样的折纸方法是怎么想到的,没进行实验的学生可能会对得到的形状有很多疑问.2.现代教学对椭圆方程的推导在人教版选修2-1的教材中,也有椭圆相关方程的推导研究,推导过程如下:(根据定义求轨迹方程)设M(x,y)是椭圆上的一动点,椭圆的半焦距为c,那么椭圆的两焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).再设M与F1,F2的距离之和为2a.

四、小结

通过本次的研究对比,我们知道了古人研究椭圆最初是通过探究现实中的一些立体图形去研究椭圆,通过对圆锥体的切割发现了椭圆.并不像我们现在,有一定的理论的支撑,并且可以通过坐标系和给定一定条件从而很轻易地画出椭圆.但是如今的高中教学更多的是重于理论,而轻于实践,所以并不像历史上那样研究具有一定的有效性.对椭圆方程的推导过程,现代教材套用了椭圆的定义进行推导,方法虽有效,但是运算起来很烦琐,尤其是不断地平方这样的运算过程,对高中生的代数运算能力要求很高,很多高中生可能会出现“算不动”的情况.而拉伊尔的推导虽多加了一个参数,但是却避免了我们现代教材这样烦琐的运算过程,更是引入了椭圆的焦半径概念.因此现代教材可以考虑引入拉伊尔的椭圆方程推导过程.

参考文献:

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[2]全国十二所重点师范大学.教育学基础(课堂教学)[M].北京:教育科学出版社,2014.

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[7]罗德建,伍春兰.核心素养视域下的“椭圆及其标准方程”的教学改进[J].数学通报,2019(5

作者:胡昊宇 张志平 单位:河南大学数学与统计学院 河南大学数学与统计学院

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